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東大が大好きそうな確率漸化式の問題の解き進め方。

東大は近年確率漸化式の問題を出し続けていますが、その中でも図形を使った問題が多く見られます。

 

今回はその解法を研究していく回です。

 

では早速問題。

 f:id:hi-gym-st:20170319234806j:image

 (※原点スタートです。)

 

座標を移動して、n回目にゲーム終了する確率を求めるタイプです。

 

ではこの問題を解いていきましょう。

 

まず(1)

 

(2)を見た感じ、漸化式を使いそうなのはわかりますが、(1)は地道に解けそうな感じがしますよね。 f:id:hi-gym-st:20170319235042j:image

 

さて、この場合まず考え方として、

 

漸化式はグループに分けて、そこを移動したりするときによく使われる。

 

ということを知っておくと良いでしょう。

 

(i)のように、対称性がある図形はグループ分けしやすいです。

 

グループ分けが出来ると、遷移図が書けます。

 

遷移図が書ければ簡単に確率漸化式が解けますね。

f:id:hi-gym-st:20170319235314j:image

 

このように、すぐさま確率漸化式にもっていくトレーニングをしておくと、方針に迷うことは無いでしょう。

 

では、確率漸化式だと分かったので、さらに解法を追及していきます。

 

(1)は例えば求める確率をqnとすると、q5を考えれば良い分けですから、一般項を作り、そこに具体的な数字を代入していけば良いと分かります。

 

ではグループ分けから。f:id:hi-gym-st:20170319235644j:image

 

このように、対称性があるのでグループ分けがしやすいですね。

 

また、グループ分けが出来たらそれぞれの式を立てていきます。

 

n回目の時にあるグループにあったとき、n+1回目にそのグループにいく場合を考えます。

f:id:hi-gym-st:20170319235832j:image

 

この時点で、

nが奇数の時はa=c=d=0

nが偶数の時はb=0

が見抜けると、(2)の方針も楽に立てられます。

 

上のように、a3,a4というように求めていきます。

 

ゲーム終了は赤色丸と橙色丸の2グループから外に出る時だと考えられるので、

 

同じ考えをして、

f:id:hi-gym-st:20170320000125j:image

 

のように求めていきます。 

 

 

では(2)

 

(1)より、奇偶に分けて答えが出ることは容易に予想つきますね。

 

それを軸に方針を立てていきます。

 

また、原点に戻らない時を考えるのでaは無視します。つまり、計算に入れません。

 

さっそくグループごとに立式します。

f:id:hi-gym-st:20170320004100j:image(s,t,uに変えるのが良いでしょう。)

 

f:id:hi-gym-st:20170320003221j:image

 

次にpnも立式出来ますね。

 

f:id:hi-gym-st:20170320003304j:image

 

☆よりt,uはsの式に置き換えられます。

 

なので、pの式はsに置き換えられます。

 

☆より、sの式はsの式で表せるので、

 

sの一般項は出せます。

 

すると、pの一般項も分かる。

 

という順序を踏みます。

 

またその際、(1)で考えた、奇偶に分ける考えをしっかりしましょう。

f:id:hi-gym-st:20170320003602j:image

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☆とsの式でpの式を立てられます。

 

nの奇偶を考え、さらに、n=1など、小さい時にも一般性が成り立つかを考えます。

 

この時は成り立ちませんね。しっかり記述します。

 

 f:id:hi-gym-st:20170320013907j:image

このようになります。

 

試験中にnが偶数の時は0。

とだけ記述すれば、

 

部分点が割と貰えるので気づいたことはドンドン書いていきましょう。その際減点はされないように。

 

確率漸化式の解法の追い方の回でした〜